Transformada de Laplace.
Definición.
El método de la transformada de Laplace
es un método operativo que aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver
ecuaciones diferenciales lineales.
Mediante el uso de la transformada de Laplace,
es posible convertir muchas funciones comunes, tales como las funciones
senoidales, las funciones senoidales amortiguadas y las funciones
exponenciales, en funciones algebraicas de una variable s compleja. Las
operaciones tales como la diferenciación y la integración se sustituyen
mediante operaciones algebraicas en el plano complejo.
Por tanto, en una
ecuación algebraica, una ecuación diferencial lineal se transforma en una
variable compleja s. Si se resuelve la ecuación algebraica en s para la
variable dependiente, la solución de la ecuación diferencial (la transformada
inversa de Laplace de la variable dependiente) se encuentra mediante una tabla
de transformadas de Laplace o una técnica de expansión en fracciones parciales.
Se define:
s = una variable compleja
ℒ = un símbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar mediante la integral de Laplace J; e-s’ dt
F(s) = transformada de Laplace de f(t)
A continuación, la transformada de Laplace de f(t) se obtiene mediante .
Transformada inversa de Laplace.
El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f(t) a partir de la transformada de Laplace F(s) se denomina transformada inversa de Laplace. La notación para la transformada inversa de Laplace ℒ -1, se encuentra a partir de F(s) mediante la siguiente integral de inversión:
En donde c, la abscisa de convergencia, es una constante real y se eligió más grande que las partes reales para todos los puntos singulares de F(S). Por tanto, la trayectoria de integración es paralela al eje jo y se desplaza una cantidad c a partir de él. Esta trayectoria de integración va hacia la derecha de todos los puntos singulares.
Existencia de la transformada de Laplace.
La transformada de
Laplace de una función f (t) existe si la integral de Laplace converge. La
integral convergirá si F(t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito
en el rango t > 0 y si es de un orden exponencial conforme t tiende a
infinito. Se dice que una función f(t) es de orden exponencial si existe una
constante o real positiva tal que la función.
tiende a cero conforme t tiende a infinito. Si el límite de la función e- π “f(t) tiende a cero para σ mayor que σc y el límite tiende a infinito para σ menor que σc, el valor de σc, se denomina abscisa de convergencia.
Para la función f(t) = Ae-σt
Transformadas de Laplace de algunas funciones que se encuentran con frecuencia.
Función exponencial. Considere
la función exponencial
f(t) = 0, para t < 0 = Ae para t ≥ 0
en donde A y a son constantes. La transformada de Laplace de esta función exponencial se obtiene del modo siguiente:
Se aprecia que la función exponencial
produce un polo en el plano complejo.
Al obtener la transformada de Laplace de f(t)
= Ae-at, fue necesario que la parte real de s fuera mayor que (-a) la abscisa de convergencia.
Función escalón. Considere la
función escalón
f(t) = 0, para t < 0
= A, para t <
0
en donde A es una constante. Observe
que éste es un caso especial de la función exponencial Ae-at, en donde a = 0.
La función escalón no está definida en t = 0. Su transformada de Laplace se
obtiene mediante
Función rampa. Considere la
función rampa.
en donde A es una constante. La
transformada de Laplace de esta función rampa se obtiene como:
Función senoidal. La
transformada de Laplace de la función senoidal.
en donde A y o son constantes, se
obtiene del modo siguiente. Remitiéndonos a la ecuación (2-3), sen ωt se puede escribir como:
Por tanto:
Asimismo, la transformada de Laplace
de A cos ωt se deriva del modo siguiente:
Propiedad y teoremas.
Una vez analizada y estudiada la definición de
la Transformada de Laplace y de haberse caracterizado algunas condiciones para
que una función ƒ tenga Transformada de Laplace L (ƒ) definida en un dominio del
plano complejo D ƒ, pasamos a estudiar algunas propiedades
básicas de esta transformada integral
A continuación, se procederá a desarrollar los distintas propiedades y teoremas.
Producto por una constante.
Esta propiedad nos dice que si tenemos que
calcular la Transformada de Laplace de una constante a por una función
f(t) esto será igual a la constante por la transformada de Laplace de nuestra
función
Propiedad de la linealidad.
La propiedad que se presenta a continuación
nos será muy útil para el momento en que tengamos que resolver ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes, a la vez que permitirá
calcular la transformada de algunas funciones.
La Transformada de Laplace cumple la siguiente
propiedad:
En donde si se evaluamos a Laplace de una suma
de funciones y las cuales están multiplicadas por constantes, esto será igual a
separar la constante a por Laplace de la primera función f(t) más la
constante b de Laplace de la segunda función g(t).
En particular si a=b=1, entonces:
Laplace de f(t) y g(t) resulta ser igual al Laplace de f(t) y g(t).
Teorema de traslación.
Esta propiedad nos dice que si queremos calcular la transformada de e^(at), en donde a es un número real cualquiera por la función f(t) y esto será igual a F(s-a) siendo F mayúscula la transformada de la función f minúscula de t pero valuada en s-a.
Propiedad de la derivada.
La siguiente propiedad nos dice que si se
quiere calcular la transformada de Laplace del producto de t por una
función f(t) esto será igual a menos la derivada de la Transformada de
Laplace de la función f(t).
Teorema de la convolución.
Este teorema nos indica que si f(t) y g(t) son de orden exponencial y además si existen sus Transformadas de Laplace y sus convoluciones entonces se satisface que las transformadas de las funciones anteriormente indicadas es igual al producto de las Transformadas de Laplace.
Transformada de Laplace de una integral.
Para que se cumpla la siguiente función se
debe de cumplir con dos condiciones
1.
La función debe ser continua a
trozos para t ≥
0, (lo cual significa que puede haber saltos finitos en la
función en todo el eje real positivo)
2.
Debe ser de orden exponencial
(esto nos quiere decir que cuando el limite tiende a infinito de la función
f(t) por una exponencial elevado a -st para algún s eso es igual a 0).
Teorema del valor inicial.
El valor inicial es la condición de arranque con la que
comienza mi sistema dinámico, o sea en el tiempo (t=0) o en el dominio de
Laplace, seria en altas frecuencias cuando (s=∞). Para obtener la ecuación del teorema del valor inicial,
partimos nuevamente de la transformada de Laplace de la derivada de nuestra
variable, aplicando los límites de inicio.
Notemos que siempre que resolvemos un sistema dinámico usando
la transformada de Laplace y luego la transformada inversa de Laplace, nuestra
función f(t) siempre va a dar como resultado una exponencial:
Si reemplazamos, tenemos que:
Y como (s) tiende a infinito, implica que s>∞, por lo tanto (s-∞)>0 y eso implica que e^(-∞)=0.
Con eso llegamos al teorema de valor inicial tanto en tiempo
continuo como en la transformada de Laplace.
Si la función f(t) y su derivada son
transformable y existe el limite de sF(s) para el tiempo tendiendo a infinito,
entonces:
Teorema del valor final.
El teorema del valor final se emplea cuando se
desea determinar el valor de una variable, de un circuito eléctrico, cuando se
alcanza el régimen permanente, sin necesidad de determinar la transformada
inversa de dicha variable.
Si f(t) y su derivada son transformables y si el limite de f(t) cuando t tiende a infinito existe entonces:
Es decir, el comportamiento de f(t) en las proximidades de t∞ está ligado al comportamiento de
sF(s) en el entorno de s=0.
Inversión de la Transformada de Laplace.
La transformación inversa de Laplace de una función F (t) es la función f (s), por lo tanto es decir que si f (s) es la transformación inversa de Laplace de F (t) y se escribe simbólicamente
donde ℒ^[-1] se llama operador de la transformada de Laplace inversa.
Puesto que la transformada de Laplace de una función N (t) es nula es evidente que si
entonces también
De aquí se deduce que
podemos tener dos funciones diferenciales con la misma transformada de Laplace.
Si permitimos funciones nulas, vemos que
la transformada inversa de Laplace no es única. Sin embargo, es única si nos
permitimos funciones nulas (que en general no aparecen en casos de interés
físico). Este resultado se indica en:
Teorema .- Teorema de Lerch. Si no restringimos a funciones F (t) que son seccionalmente continuas en todo intervalo finito 0<= t <= N y de orden exponencial para t >N, entonces la transformada inversa de Laplace de f(s) es decir
es única. A continuación presuponen siempre dicha unidad, salvo que se indique lo contrario.
Algunas
transformadas inversas de Laplace
Los siguientes resultados se derivan
inmediatamente.
Calculo
de transformadas inversas
Se presenta con frecuencia el cálculo de la transformada inversa de una función racional del tipo
donde P y Q son polinomios y el grado de Q mayor que el de P. Sabemos que en tal caso, la función admite una descomposición en fracciones simples de algunas de estas formas
Que corresponden respectivamente a raíces reales simples,
raíces reales múltiples y pares de raíces complejas conjugadas simples del
denominador (no consideraremos el caso de raíces complejas múltiples).
Aplicación en la industria.
La transformada
de Laplace es una herramienta que puede utilizarse para resolver ecuaciones
diferenciales generadas por modelos dinámicos reales, cuyo comportamiento varía
respecto al tiempo, en base a eso se aplicará la transformada de Laplace en el
modelo de la suspensión de un automóvil.
Bibliografía.
Cebolla, B. (2017). MODELADO Y CARACTERIZACIÓN DE
SISTEMAS DE SUSPENSIÓN EN VEHÍCULOS AUTOMÓVILES. Obtenido de
https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/89391/CEBOLLA%20-%20MODELADO%20Y%20CARACTERIZACI%C3%93N%20DE%20SISTEMAS%20DE%20SUSPENSI%C3%93N%20EN%20VEH%C3%8DCULOS%20AUTOM%C3%93VILES.pdf?sequence=1
Físicaymates. (02 de mayo de 2016). Transformada
de Laplace #1 . Obtenido de youtube.com/watch?v=TnXw_1RLjE0
Gutierrez, J. (2011). Utilización de la
transformada de Laplace para obtener la función de transferencia de la
amortiguación de un automóvil. Obtenido de
http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Juan%20Manuel%20Guti%C3%A9rrez.pdf
Matefacil. (05 de octubre de 2017). Transformada
de Laplace de una integral, demostración de fórmula. Obtenido de
https://www.youtube.com/watch?v=xupjDg9MsPc
Ogata, K. (1998). Ingeniería de control moderna.
(2022). La transformada
de La place.
Murray R. Spiegel, P. D. (1965). Transformacion inversa de Laplace. En P. D. Murray R. Spiegel, Transformacion de Laplace (págs. 42-43). New York: McGRAW-HILL.
Comentarios
Publicar un comentario